在做相似度、聚类或异常检测时，“距离”往往是最直接的度量方式。欧式距离最常见，但它在真实数据上容易产生偏差；马氏距离则是在考虑数据分布后更合理的一种替代。
1）欧式距离是什么
欧式距离衡量的是两点在特征空间中的直线距离：
$$ [ d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{p}(x_i-y_i)^2} ] $$
它的优点是简单、直观、计算方便，适合特征尺度一致且相互独立的情况。
2）欧式距离的不足
（1）对尺度/量纲敏感
如果不同维度的数值范围差异很大（或方差差异明显），欧式距离会被“大尺度/大方差”的维度主导。此时你以为在比较“整体相似度”，实际可能只是某个维度在决定远近。
（2）忽略特征相关性
很多特征之间存在相关性（例如两个维度往往一起增大/减小）。欧式距离把它们当作独立维度处理，容易把“沿着常见相关方向的变化”也判得很远，从而高估差异或误判异常。
直观上：欧式距离的等距线是圆（高维是球），默认各方向同等重要、同等波动，但真实数据常呈“倾斜的椭圆云团”。
3）马氏距离是什么
马氏距离（Mahalanobis distance）衡量样本相对某个分布中心的“标准化偏离程度”：
$$ [ D_M(x)=\sqrt{(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)} ] $$
- ($\mu$)：数据均值（中心）
- ($\Sigma$)：协方差矩阵（包含各维度方差与相关性）
- ($Sigma^{-1}$)：用于“尺度校正 + 去相关”
它对应解决欧式距离的两大不足：
- 自动按方差缩放：波动大的方向，同样偏移不算太“远”；波动小的方向，小偏移也更“显著”。
- 自动考虑相关性：沿数据常见的相关方向变化距离更小，沿罕见方向变化距离更大。
几何上，马氏距离的等距线是与协方差一致的椭圆（高维是椭球），更贴合数据的真实分布形状。
4）总结
- 欧式距离：几何意义的直线距离，默认“同尺度、无相关”。
- 马氏距离：统计意义的距离，会根据方差与相关性调整，回答“在这类数据里偏离得有多不典型”。
